一名小学数学教师应该具有怎样的教育视野？不久前，日本京都教育大学专职研究数学教育的渡边伸树教授来到上海师范大学访问。上海师范大学教育学院的硕士研究生许珺同学就此问题与渡边伸树进行了交流。渡边伸树言谈中体现出来的严谨务实的研究风格值得我们学习。

一、渗透数学的思想和方法

　　许珺：在中国，现在大学与中小学教师都在共同努力促进教师的专业发展，其中就包括教师要具有一定的学科知识，要有驾驭学科的能力。我们很想知道，日本的小学数学教育是否也是如此？
　　渡边伸树（以下简称渡边）：在日本，我们也很重视教师的学科能力。大学培养小学教师时，会在第二年安排一定的数学课程。由于小学数学所接触到的数学内容不是很难，所以我们的重点主要在使这些未来的老师们了解并弥补自己知识上的漏洞。同时我们也会在大学课堂上介绍新的教学方法、日本数学的教育史以及日本教育改革的进程等。当然，还有有关介绍数学思想和方法的课，这在小学数学教学中也很重要。
　　许珺：能请您具体举个例子来说吗？
　　渡边：举一个空间教学的例子。假设有一个棱长为8厘米的正方体，我们现在要把它展开，你认为会有多少种不同的展开图？要说明的是，同一种展开图的不同摆法只能算一种。
　　许珺：大概8种吧。
　　渡边：呵呵，这个问题我在徐汇校区和奉贤校区的时候也提过，只有一个人猜对了。正确答案是11种。
　　解决这个问题的关键是，有规律地把展开图的各种可能性列出来，从六个面为主体的展开图到由两个面为主体的展开图，从有一个面在上的展开图到有两个面在上一个面在下的展开图。倘若不掌握规律，不遵循方法，随性乱画，是很难将所有的可能性都列举出来的。
　　我为什么要举这个例子呢？我们知道，正方体的展开图有11种并不是一个难的问题，甚至在我们的小学数学教科书上也有所触及，但还是有很多人在问题提出后说不出正确的答案。所以，这个例子告诉我们，教师在教学过程中并不是让学生知道一个答案就可以了，其中还牵涉到让学生能够用数学的思想和方法解决问题。如果不记住思想和方法，那么几年以后，再次面对这个问题，学生还是会忘记。所以，教师教的关键是教会学生掌握正确的思考问题的方法。
　　同时，教师对相关的教学内容也要认真地钻研，对所涉及到的知识点要有全面深入的认识，这样在教学过程中才能更加游刃有余。

　　[笔者感悟]：数学教育的过程不是单纯地传授数学知识的过程，也是学生形成数学的观念、端正学习态度、掌握正确的数学思想方法、校正认知行为的过程。由于数学的思想和方法既包含显性知识又包含隐性知识，学生只有在做题时才显现出来他们是否掌握了数学的思想和方法，而数学教师在教学过程中往往会忽略这一点。怎样在数学教学中让学生掌握正确的数学思想和方法，是值得每个数学教师思考的问题。当然教师自身也需要不断提高数学素养，认真钻研教学内容。

二、认识学生学习能力

　　渡边：你能在纸上画出一个正方体吗？
　　笔者在纸上画出一个标准意义上的正方体。
　　渡边：画得很好。可是你知道小学生会如何画摆在他们面前的正方体模型吗？
　　笔者尝试了几次，但都被渡边教授否定了。
　　渡边：其实在小学一至六年级中，小学生画出来的正方体可以大致分为四类。请看图（如图1）。
　　渡边：我曾经在小学中做过画正方体的调查。调查的对象是小学二年级学生（8岁）33名，三年级学生（9岁）36名，四年级学生（10岁）29名，五年级学生（11岁）37名，六年级学生（12岁）26名。其结果如下面的柱形折线图所示（如图2）。
　　许珺：这个柱形折线图似乎可以表明，随着孩子年龄的增长，画出C1画的孩子越来越少，画出C4画的孩子在随之增多。而且我还看到，在三年级和四年级的两条柱形图数据间的变化最小。渡边教授，请您具体来讲讲好吗？
　　图1：（图略）  

　　图2：（图略）  
　　渡边：在我的调查中，我发现7～8岁的孩子多数画出C1这样的图，几乎没有人能画出C4这样的图；到了9～10岁，画出C1图的孩子大约要减少一半，多数9～10岁的孩子倾向于画出C2这样的图，当然也有一部分10岁的孩子能和11岁的孩子一样画出C3这样的图；当孩子长到了11岁，画出C1和C2图的孩子的比例均大幅度减少，取而代之的是画出C3和C4这样图的孩子比例的增加；超过半数的12岁孩子已能很好地画出C4这样的图了。
　　许珺：究竟为什么会这样呢？
　　渡边：让我们从孩子的视角来仔细分析一下C1、C2、C3和C4这四张图。
　　首先是C1。孩子在7～8岁的时候，他们描画所看到的事物时，往往用两维的图画来表示，这是因为此时他们是用垂直或水平于物体的视角来看事物的。（如图3所示）（图略）  
　　到了C2。这时，孩子们会从高处俯视物体，于是他们所描画的物体中开始出现三个面。但我们仍发现，他们所描画的正方体的两个面的底边是连在一起的一条直线，说明此时他们还是会用水平于物体的视角来看事物。（如图4所示）（图略）  

　　看C3这幅图，我们可以看到，孩子们已经懂得要表示出正方体是立体的这个特征，但由于他们是从正方体的前面来取图的，所以他们所画出来的正方体棱的延长线是发散出去的，而不是我们所知道的正方体同一个面上棱于棱之间是平行的。（如图5所示）（图略）  

　　到了C4。这时的孩子已能把自己看到的画面整合起来，统一地来看待物体。这时他们才开始真正建立起空间的概念。而且他们也明白了，正方体同一个面棱于棱之间是平行的关系，所以此时他们画出来的正方体是我们标准意义上的正方体。（如图6所示）（图略）  

　　所以说，我们的教师选择教学内容的时候，要考虑到孩子的年龄特点，只有符合孩子身心发展特点的内容才是我们教师应该教授的内容。
　　
　　[笔者感悟]：孩子要在12岁左右才能真正建立起空间的概念，那么，我们的课程安排一定要适合儿童的这一认知发展水平。当然，不仅有关空间的内容如此，其他内容上也应如此。实际上，教师在教授新知识之前，还要先了解学生原有的知识水平和能力，这样才能为学生制定出适合学生心智发展的教学内容。

三、联系数学与其他学科

　　许珺：通过您的介绍，我已知道日本的小学教师进行的是全科教学，一个教师要承担多门学科的教学任务，那么他们在教学中会不会把数学与其他学科相互融合？
　　渡边：会的。一些有个性的、善于创新的教师在教授某些数学知识时，会将其与其他有关联的科目整合起来，这是全科教学的一个优势。
　　许珺：那么在教学中，他们是如何把数学与其他学科整合的呢？
　　渡边：在社会课中，会有一些图表，我们可以运用这些图表，教授给学生概率统计的知识以及培养学生读图的能力。在体育课中，我们可以让学生运用所学的数学知识研究如何能跑得更快。在地理课上，学生可以把苹果作为我们的地球，在上面画出经纬线，并标出相应位置的经度和纬度。这一切都是由教师自己根据需要来决定，教师要是认为有需要，也会安排一定的计算在其他学科中进行。

　　[笔者感悟]：在学校中开展分科教学，是为了让学生能更加系统全面地学好各科内容。数学教师在教学中应遵循生活数学观的原则，让学生的数学学习与现实生活相联系起来。同时，也可以将某些数学知识与其他学科相互融合，使学生明白生活中到处都有数学，这样有利于学生数学素养的培养。

四、激发学生的学习动机

　　许珺：我们了解到，日本小学生中喜欢数学的孩子并不是很多，于是，教师在教学中就致力于让数学课堂变得生动有趣，有时会运用一些小学生喜欢的动漫来吸引学生的注意力，激发学生的学习动机。您是怎么看待这个问题的？
　　渡边：在英语中，表示“有趣”有两个单词——“funny”和“interesting”。“funny”只是简单的感官上让人感到有趣、快乐，而“interesting”不仅是有趣，还表明能引起智力上的好奇。但在日语中，表示有趣的意思的词只有一个，教师往往会简单地把有趣理解为“funny”。面对有趣的事物，儿童的表现总是快乐的，于是教师花了很多努力，努力使学生有兴趣，至于是否有效却没有给予足够的重视。有时，课上得有趣了，却忽视了学生解题能力的提高。学生不会解答繁琐的数学题目，就会更加讨厌数学。于是，就会形成一个恶性循环。

　　[笔者感悟]：将学习兴趣转化为不断学习的动机，就是要让学生在感兴趣的同时体验到自己有能力学好数学，在这个课堂环境中学习是件很快乐的事。因此，教师在激发学生学习兴趣的时候，不能忽视对学生基本数学能力的训练。

原文载于《中国教师报》2007年11月28日